a) Se over forutsetningene som dette kapitlet bygger på (s. 116/7). Gi en vurdering av hver forutsetning.
b) Produksjon i bedriften Dereks Dingser er gitt ved:
\begin{equation} x=f(N,K)=K\frac{e^N}{A+e^N} \end{equation}
hvor $N$ er enheter arbeidskraft (målt i timer), $K$ er enheter kapital og $A>0$ er et konstant tall.
$e$ er Eulers tall (ca. 2,7 1828 1828). På kort sikt er $K=1000$, og $A=200$.
Tegn produksjonsfunksjonen på kort sikt for $10\geq N\geq 1$.
c) Beregn gjennomsnitts- og grenseproduktiviteten til arbeidskraft, og tegn disse i en figur. Forklar figuren. For hvilken verdi av $N$ er grenseproduktiviteten høyest?
d) Undersøk skalaegenskapene til denne produktfunksjonen.
e) Derek har mulighet til å investere i en ny teknologi som vil redusere $A$ til 100. Tegn den gamle og nye produktfunksjonen i samme figur.
f) Gitt at dingser selges for en fast pris på 500kr, tegn en figur som viser sammenhengen mellom antall timer brukt i produksjon og endringen i bedriftens inntekt dersom den nye teknologien tas i bruk.
g) Hvilket timeantall maksimerer endringen i bedriftens inntekt dersom den nye teknologien tas i bruk?
h) Derek bruker 7 timer arbeidskraft i produksjon av dingser. Den nye teknologien krever en investering av 50 000kr. Bør bedriften ta i bruk den nye teknologien?
En bedrift bruker følgende produktfunksjon til å lage et gode
\begin{equation} x = f(N,K)=N^sK^{1-s} \end{equation}
hvor $x$ er enheter ferdigprodukt, $N$ er enheter arbeidskraft (målt i timer), $K$ er enheter kapital og $1\geq s>0$ er et konstant tall.
a) Styret i bedriften har bestemt at det ikke finnes penger i årets budsjett til å øke kapitalbestanden. Anta at $K=10, s=0,5$ og tegn produktfunksjonen på kort sikt. En gavmild filantrop gir bedriften en gave som øker kapitalbestanden til $K=12$. Hvordan endres produktfunksjonen på kort sikt?
b) Beregn grenseproduktiviteten til arbeidskraft og kapital for generelle verdier av $N, K, s$. Hva viser grenseproduktiviteten? Anta at $\frac{K}{N}=5$, og tegn grenseproduktivitetene i en figur hvor $s$ er på den horisontale aksen. Tolk figuren.
c) Beregn gjennomsnittsproduktiviteten til arbeidskraft og kapital for generelle verdier av $N, K, s$. Hva viser gjennomsnittsproduktiviteten? Anta at $\frac{K}{N}=5$, og tegne gjennomsnittsproduktivitetene i en figur hvor $s$ er på den horisontale aksen. Tolk figuren.
d) Bedriftseieren vurderer å kjøpe inn en ny maskin som øker kapitalbeholdningen med 10%. Hvor mye (målt i %) vil produksjon endres?
e) Fagforeningen som representerere arbeiderne i bedriften har oppdaget bruk av overtid som er i strid med Arbeidsmiljøloven, og pålegger bedriften å redusere timetallet med 5%. Hvor mye endres produskjson (igjen målt i %)?
f) Tegn produksjonsisokvanten for $x=5, s=0,5$. Hva viser isokvanten? Undersøk hva som skjer når $s$ endres til $s=0,2$ og kommenter dine funn.
g) Hva viser den marginale tekniske substitusjonsbrøken (MTSB)? Beregn dette for produktfunksjonen i (2). Tegn MTSB i en figur med $s$ på den horisontale aksen, og forklar figuren.
h) Viser produktfunksjonen i (2) økende, avtakende eller konstant skalautbytte?
En bedrift bruker følgende Cobb-Douglas produktfunksjon til å lage et gode
\begin{equation} x = f(N,K)=ZN^aK^{b} \end{equation}
hvor $x$ er enheter ferdigprodukt, $N$ er enheter arbeidskraft (målt i timer), $K$ er enheter kapital og $Z>0, a>0, b>0$ er konstante tall.
a) Vis at $a$ er produksjonens elastistitet med hensyn på arbeidskraft, dvs
\begin{equation} a = f’_N\frac{N}{x} \end{equation}
Tolk denne parameteren.
b) Vis at $b$ er produksjonens elastistitet med hensyn på kapital.
c) Vis hvordan skalaegenskapene til (3) avhenger av $a+b$.
d) Skriv om (3) ved å ta logaritmer av begge sidene, og vis at teknologien kan skrives som
\begin{equation} ln x= ln Z + a ln N + b ln K \end{equation}
e) Økonom X har data for faktorbruk og produksjon av Dingser, og har estimert følgende sammenheng:
\begin{equation} ln x= 3.2 + 0.75 ln N + 1.1 ln K \end{equation}
Hvor mye økes produksjon dersom bedriftseieren øker i) N med 10%, ii) K med 10%? Viser estimatene at produksjonsprosessen karakteriseres av økende, avtakende eller konstant skalautbytte?
Ren og Jie (2019) estimerer produktfunksjoner for flere sektorer i Kina basert på data fra perioden 1993-2015. På side 361 spesifiserer de følgende produktfunksjon:
\begin{equation} Y_{it} = A_i K^{\alpha}_{it} (h_{it} L_{it})^\beta R^\gamma_{it} e^{\epsilon_{it}} \end{equation}
hvor i er sektoren, t er tid, Y er produksjon i sektoren, K er kapitalen (og andre materialer) brukt, h er menneskelig kapital, L er mengde arbeidskraft, R er utgifter på Forskning og Utvikling (FoU), e er Eulers tall og $\epsilon$ er et tilfeldig feiledd.
a) Hva måler $h L$ i hver sektor? Hvorfor inkluderes FoU i produktfunksjon? Løser dette noen av problemene du identifiserte i oppgave 1a)? Introduseres flere problemer? (Tenk på måleenheter for eksempel).
b) Gi en tolkning av $\alpha, \beta, \gamma$. Forfatterne definerer videre $\psi=\alpha+\beta+\gamma$, og sier at $\psi=1$ angir konstantskalautbytte, $\psi<1$ avtakende skalautbytte, og $\psi>1$ økende skalautbytte. Forklar hvorfor dette er tilfellet.
c) Skriv uttrykket som måler gjennomsnittsproduktiviteten til arbeidskraft $\frac{Y_{it}}{(h_{it} L_{it})}$.
d) Vis hvordan forfatterne utleder deres likning (2) på side 362 ved å ta logaritmer av begge sidene.
e) Ta logaritmer av begge sider av ditt svar på deloppgave (c) og vis hvordan forfatterne utleder sin likning (3).
f) Tallet som er fremfor variablen $ln (h_t L_{it})$ er $(\psi-1)$. Dette er et tall som forfatterne estimerer ved bruk av statistiske metoder, og som brukes for å tyde type skalautbytte i en sektor (se over ditt svar på deloppgave b). Hva viser skalaegenskapene dersom: (i) $\psi=-0,6$, (ii) $\psi=0,6$, (iii) $\psi=1$?
g) Tabell II på side 366-7 gir resultatene av den statistiske modellen Her er to likninger estimert for hver sektor: (1) tar med FoU utgifter mens (2) utelater denne variablen. Se på tallene i kolonne 3 som er de estimerte verdiene av $\psi-1$. Tall som er merket med en til tre stjerner er vi rimelig sikker på er ikke null (desto flere stjerner jo mer sikker er vi på dette - dere vil lære om dette til høsten i kurset om statistikk). Se på linjen i Tabell II for sektoren “Production and supply of electricity, gas and water”. Tallet som måler $\psi-1$ er 0.198 i modellen med FoU og 0.343 i modellen uten. Ingen av disse tallene er merket med en stjerne så de er statistisk lik null. Derav kommer konklusjonen om at denne sektoren viser konstant skalautbytte. Se på skalaegenskapene til de øvrige sektorene - er disse fornuftige konklusjoner tror du (for eksempel: resultatene viser at dersom man fordobler ressursbruk i produskjonen av “machinery and equipment” får man mer enn dobbel så mye output - hvordan forklarer du dette?).