Tenk tilbake til studenten Stan som har preferanser over gode 1 ($x_1$) og gode 2 ($x_2$) gitt ved en Cobb-Douglas nyttefunksjon:
\begin{equation} U(x_1, x_2)= x_1^{a}x_2^{b} \end{equation}
Prisene på godene er $p_1, p_2$, og Stan har $m$ kr i inntekt.
a) I forrige oppgavesett har dere beregnet Stan sin etterspørsel etter gode 1 og 2. Bruk dette for å regne ut egenpris-, krysspris- og inntektselastisitetene. Kommenter resultatet.
b) I en masteroppgave ved UiO har Martine Hexeberg Grøtt estimert priselastisiteter for noen matvaregrupper i Norge (s.31-33). Jussila et al. (2012) har estimert noen egenpris- og inntektselastisiteter for forskjellige varekategorier i Finland (se Figur 1 på s. 14). Med bakgrunn i disse resultatene hvor rimelig det er å anta Cobb-Douglas preferanser i en økonomisk analyse?
I forrige oppgavesett (Seminar 7 oppgave 2) møtte vi en husholdning med preferanser over to goder ($x_1, x_2$) gitt ved en nyttefunksjon av Stone-Geary type:
\begin{equation} U(x_1, x_2) = \beta_1 ln (x_1-\gamma_1) + \beta_2 ln (x_2-\gamma_2) \end{equation}
hvor $\beta_1+\beta_2=1$, og $\gamma_1>0, \gamma_2>0$.
Du har tidligere regnet ut hvordan etterspørselen ser ut gitt disse preferansene. Se på likning (4) i Jussila et al. (2012) om du har glemt dette. Ved å gange etterspørsel etter vare i med prisen på vare i får man et uttrykk for utgiften til denne varen (se Jussila likning 5). Utgiften er lineær i alle priser og inntekt, og denne modellen kalles derfor Linear Expenditure System (LES).
a) Finn uttrykk for egenpris-, krysspris- og inntektselastisitetene. (Du kan sjekke om du har rett ved å se på Jussila likning 6, 7 og 8).
b) Er dette en rimelig spesifisering av preferanser, tenker du? Må $\gamma_1, \gamma_2$ være positive tall. Hva innebærer det for elastisitetene om en eller begge av disse parametre er negative?
c) Hva viser $\beta_1, \beta_2$, og hvorfor er det rimelig at de summerer til 1? (Se på likning (5) i Jussila et al. og tenke hva som skjer med utgiften på hvert gode dersom inntekten økes med 1 kr).
d) Tegn Engelkurven til gode 1. Forklar hvordan (og hvorfor) den endres når $\gamma_1, \gamma_2, \beta_1, \beta_2, p_1, p_2$ endrer seg.
Vi ser på en husholdning som har nyttefunksjon som i (2). Anta videre at $\gamma_1=\gamma_2=1, \beta_1=\beta_2=0.5, p_1=p_2=2, m=100$.
a) Finn husholdningens optimale tilpasning i utgangspunktet, og tegn den i en figur med $x_1$ på den horisontale aksen, og $x_2$ på den vertikale.
Finn nyttenivået som denne tilpasningen gir, og kall det $U_0$.
b) Anta nå at prisen på gode 1 reduseres til $p_1=1$. Finn den nye tilpasningen og tegn den inn i figuren fra del (a). Finn nyttenivået, og kall det $U_1$. Beregn også den totale endringen i etterspørsel etter gode 1 og 2.
c) Gitt priser $p_1=1, p_2=2$, hvor mye inntekt trenger husholdningen for å oppnå nyttenivå $U_0$? Finn husholdningens tipasning når den har dette inntektsnivået, og tegn denne tilpasningen i figuren fra del (b).
d) Bruk resultatet i (c) til å dekomponere den totale endringen i etterspørsel etter gode 1 og 2 i en inntekts- og en substitusjonseffekt.
e) Resultatet viser at etterspørselen etter gode 1 øker etter at $p_1$ faller, og at både inntekts- og substisusjonseffekten er positiv. Forklar hvorfor begge effektene er positive.
f) Videre bør du ha funnet at også etterspørselen etter gode 2 øker når $p_1$ faller, men at substitusjonseffekten er negativ mens inntektseffekten er positiv. Forklar dette.
g) At etterspørselen etter gode 2 øker når $p_1$ faller betyr at den positive inntektseffekten er større enn den negative substitusjonseffekten. Dette viser seg å alltid være tilfelle i LES modellen med $\gamma_i$ positiv for alle goder. Som Chang og Fawson (1994) skriver: “When the $\gamma_i$ are positive, the cross price effects are negative, a fact implying that the income effects are stronger than the substitution effects”. Forklar.
h) Dekomponeringen som vi har gjennomført av den totale endringen i etterspørsel i en inntekts- og substitusjonseffekt avhenger av en tenkt situasjon hvor husholdningen “kompenseres” for prisendringer ved å gi/ta inntekt fra dem slik at de oppnår samme nyttenivå som før endringen. Hvor lett er dette å gjennomføre i praksis, og kan du tenke på en mer praktisk måte å kompensere for prisendringer?
i) Hvorfor tar økonomer seg bryet med å dele endringer i etterspørsel etter prisendringer inn i en inntekts- og substitusjonseffekt?